[Lecture 4]透视投影中z’不等于z值的解释

[刘好念]

在讲透视投影变换矩阵Mpersp→ortho时，同学们对矩阵中的z分量是变化的还是不变的有很多争论。基于查阅的资料，我将在本文中谈一下自己对于这个问题的理解，并对投影变换矩阵的计算公式进行解释。同学们如果有不同的看法和理解，欢迎大家在下面讨论。本文是对[GAMES101]透视投影变换矩阵中为什么需要改变z值 的转载。
投影变换的目标是：根据给出视体参数（fov,aspect_ratio,zNear,zFar等参数）计算得到一个投影变换矩阵M，这个矩阵需要满足三个条件：
条件(1)，这个矩阵是唯一固定的，即这个矩阵中的元素值只跟视体相关，跟视体中点的坐标无关；
条件(2)，经过变换后，必须保证各个点的z值相对关系不变，即假如点a的z值大于点b的z值，那么经过变换点a的z’依旧大于点b变换后的z’。那么z’不能与(x,y,z,w)中的x,y相关，只能由z,w确定；
条件(3)，视体边界面z=zNear平面和z=zFar平面上点的经过变换后依旧在立方体边界面上，不然在经过透视投影后，有可能原来在zFar外面的点，在变换后到了立方体内了！原本视体外需要被裁剪掉的点，变换到了立方体内，这可能导致裁剪错误；
为了满足条件(1)：z’不能等于z（除了z=zNear和z=zFar平面上的点），不然矩阵M中就需要包含各点的坐标值z。
为了满足条件(2)：Mpersp→ortho第三行 (? ,?,A,B)前两个元素需要等于0。
为了满足条件(3)：将z=zNear和z=zFar平面上的点带入z’=M*z可以计算得到，A=n+f,B=−nf。
至此，我们就得到了Lecture-4中投影变换矩阵Mpersp→ortho。

[Author]

Posts