[作业4]请教 E(u)的计算

[Neil2077]

作业4，2.2.1 预计算 E(u) 的部分：这个是一个双重积分。。。这个怎么用蒙特卡洛方法求解？之前都是搞一重积分。。。请高手指点！先谢过！

[小夜子]

公式里是双重积分。但利用蒙特卡洛积分后，其实是对球面进行采样完积分，所以核心是对球面进行采样。

[Neil2077]

这个点搞明白了，多谢！
不过，还是不会做….，继续请教。:)
IntegrateBRDF()函数的注释： TODO: To calculate (fr * ni) / p_o here
这里的 fr 就是微表面模型的 brdf 值，对吧？ p_o 是样本的 pdf 值？就是这个 ni 是啥。。。。

[Neil2077]

又看了一遍文档，尝试 ni==mu_i，即 sin(theta)。。。貌似结果是正确了

[Yui]

积分里不是乘的sin(theta)吗，怎么这里用的是n*i,也就是cos(theta)呢?

[闪电的蓝熊猫]

这个我查了原paper，发现paper里用的是cos(theta)，闫老师讲的是sin(theta),可能是弄错了。

[小木子]

并不是闫大讲错了，是你没有想明白为什么这积分里用cos还是sin的值会一样，原因我发下面了

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[ZETAAAAAAAA]

别纠结sintheta，costheta，他就是把反射率方程的Li换成1然后做换元，我们还是对反射率方程做蒙特卡洛积分。可以看下面的推导

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[小木子]

为什么就没人把话说完，ZETAAAAAA的公式是对的，对立体角的积分转化为对theta和phi的积分，再转换为sin theta和phi的积分，其实这三个积分都可以做蒙特卡洛，而且值还都是相等的，那么三次蒙特卡洛的区别在哪里？
1.积分公式：第一个积分里面是cos，第二个积分里面是cos sin ，第三个积分里面是sin
2.pdf：（假设都是均匀采样，那么概率密度就是积分区域的倒数）做蒙特卡洛是要当前采样积分结果乘1/pdf的，第一个积分的pdf显然就是半球立体角的倒数1/2pi,第二个积分的pdf（双重积分的pdf用两次采样pdf的乘积）是theta的积分域pi/2的倒数与phi的积分域2pi的倒数乘积= 1 / pi^2,第三个积分的pdf是 sintheta 积分域 1 的倒数 和 phi 积分域 2pi的倒数乘积 = 1/2pi
综上所述，所以不用纠结积分公式里是sin 还是 cos，因为他们的pdf都是 1/2pi，所以无论是cos还是sin都不会改变这个积分的值

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[shuaigougou5545]

还是用第一行的公式,而不是第三行的,这样就是cosθ了

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[Noviorlu]

其实这个问题很简单，我们去看一下squareToCosineHemisphere这个蒙特卡洛积分中，他的求导单位是什么就明白了。

蒙特卡洛积分是对连续函数的离散分析，他的sampleList中的Direction代表的是dwi立体角，而不是dudphi。也就意味着我们积分内的公式应当使用ZETAAAAAAAA的图片中的第一条。所以这里ni代表的就是cos（theta in）而不是ui。

最后单个离散积分的公式应当是(F * D * G) / (4.0f * NdotV * NdotL) * NdotL / pdf
这里，
(F * D * G) / (4.0f * NdotV * NdotL) 是 microfacet brdf
NdotL 是渲染方程带的 cos（theta in）
1/pdf 是 蒙特卡洛积分公式自带（得回去复习一下了）

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