【作业2】环境光球谐旋转推导

[cmc233]

没看懂为什么旋转不变性就是R(f(x)) =f(R(x))， 将球面函数f(x)旋转R得到的应该是f(R^(-1) x)吧

球谐函数的旋转不变性不是指”任意l阶的某一球谐函数在r’的取值，可以由其同阶的球谐函数在r的取值线性组合表示，系数由r到r’的旋转矩阵决定”，从而，“f(x)用球谐函数展开后，旋转f(x), 新的球谐系数可以表示成原来同阶的系数的线性组合”吗？

流程中的第三步应该是原sh系数*M，而不是M*原sh系数？

我自己推导了一下（如图），得到的结果是M = [P R^(-1)n] A^(-1)

还有，感觉tools.js的mat4Matrix2mathMatrix函数有问题，mat4是按列优先存储的，math.matrix() 是按行构造的，r.push(rotationMatrix[i*4+j])最后得到的矩阵是原矩阵的转置。因为mat4Matrix2mathMatrix返回的就是R^(-1)，所以按作业文档里用M = [PRn]A^(-1)才恰好得到正确结果

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[cmc233]

图片第5行有个笔误，等式左边不应该是一个P(R^(-1) w)，而是应该像右边一样是所有l阶SH的vector

[JZZ]

第一个问题：R^{-1}
首先，文档中列举的第一个性质和推导本身并无关系，推导过程立足的其实是性质二。。。。
说清楚一些，就是我们任意选择的{n_i}，其实可以看作是到环境贴图上的dir vector，然后旋转环境光就是对这些向量的旋转，也就是R(n_i)。然后把R(n_i)重新用SH拟合，这样得到的新的SH系数应该等于原来SH系数的一个线性变化，这个才是算法设计的立足点。（性质一讲的旋转其实是一种旋转操作，R在等式两边不是一样的意思），文档提供的算法设计是没有问题的。

然后，你的推导过程说实话我没有怎么看懂。。。。比如第一句的应该是f(R^{-1}(x))，这里的“应该是”三个字感觉没有那么显然。。。。不过在这确实扫除了一个小坑，也有可能你的理解是对的，但是表述上没有讲的很详细很清楚。[Hint: 实时端天空盒的旋转矩阵和SH系数的旋转矩阵之间传递时确实要好好想一下。]

[cmc233]

天空盒子原来的方程是f(w)，将整个盒子旋转R后的新盒子,相当于在w处的取值是原来R^(-1)*w处的取值,得到的新方程就是f(R*w)啊
我的推导只是将f(w)用球谐函数展开了啊，P就是球谐函数,lamda就是对应系数，为什么看不懂？我的推导也是基于文档中的性质二（而且这个性质才应该是球谐函数的旋转不变性，参见https://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_harmonics#Rotations）
然后，我其实没看懂文档中列的第一个性质是什么意思

[JZZ]

这样就算讲明白了，因为框架中我们提供的是环境光旋转矩阵，传给SH系数旋转的旋转矩阵应该是查询方向的旋转矩阵，两者在这里有个取逆的关系。这个“逆”的关系不是在推导中使用，而是在传入之前完成的。

问题发现的超级好，但是”应该是”三个字应该是解释的重点，这样其他同学参考帖子的时候会轻松一些。

• This reply was modified 3 years, 7 months ago by JZZ.
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[cmc233]

感觉文档在写推导公式的时候有点混淆SH系数和SH函数。框架提供的SHEval(x,y,z)返回的值是前l阶所有SH函数在w=(x,y,z)处的取值，但是推导过程中P指的是SH系数？这也是为什么第三步中不应该是M*原SH系数，而应该是原SH系数*M

[JZZ]

问题二：不同库的矩阵存储方式
文档中提供的转换函数是没有问题的，读的时候是按行读的，然后传递给一个行优先的矩阵。可以打印一下转换前后的矩阵看看有没有错。

但是在实现SH旋转过程中确实需要注意到math.js的行优先存储，在合适的地方进行转置操作。

[cmc233]

打印出来的确是没有问题的。
但是这是为什么啊，i*4+j是按行在读取，可glmatrix的文档里写mat4是按列存储的

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[cmc233]

不对，打印下来结果不对，例如取
let v = mat4.create();
mat4.fromRotation(v, math.pi / 6, [0, 1, 0]);
let v_ = mat4Matrix2mathMatrix(v);
console.log(v_);得到

0.8660253882408142, 0, -0.5, 0
0, 1, 0, 0
0.5, 0, 0.8660253882408142, 0
0, 0, 0, 1

但是实际旋转矩阵应该是
0.8660253882408142, 0, 0.5, 0
0, 1, 0, 0
-0.5, 0, 0.8660253882408142, 0
0, 0, 0, 1

[misskanagi]

“mat4Matrix2mathMatrix”这个函数确实是“误打误撞”用对了，这个函数把列优先存储的矩阵转换成了行优先存储的矩阵，这样相当于对矩阵做了一次转置，而旋转矩阵是一个正交矩阵，对旋转矩阵转置相当于求出了该旋转矩阵的逆矩阵。

正确的“mat4Matrix2mathMatrix”函数的实现应该是把最后的return math.matrix(mathMatrix);变成return math.transpose(math.matrix(mathMatrix));

另外#8284回复最后的Hint确实需要仔细琢磨一下。

[misskanagi]

正确的“mat4Matrix2mathMatrix”函数的实现应该是把最后的return math.matrix(mathMatrix);变成return math.transpose(math.matrix(mathMatrix));

这句话错了，请无视。

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