关于世界坐标和局部坐标转换的问题

[行猿]

请问一下各位：为什么在bump和displacement中将新求得的的法向量变换回世界坐标时是左乘一个TBN矩阵而不是其转置呢？下面的图里是我的理解，不知道哪里出了问题，如果可以麻烦各位解答一下，万分感谢！

[行猿]

这是图

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[sublimation]

[t,b,n]是局部坐标系的坐标轴的坐标，所以左乘TBN的转置矩阵的作用是将世界坐标系转换到法向量的局部坐标系。
而TBN矩阵是TBN的转置矩阵的逆矩阵，作用是将局部坐标系的坐标转换为世界坐标系下的坐标。

[行猿]

感谢！但是这就是我不理解的地方，为什么从世界坐标到局部坐标的转换时左乘TBN的转置而不是TBN本身？

[sublimation]

这是矩阵乘法的线性空间的角度去看的方式。当矩阵左乘列向量时，该列向量会和矩阵的每一行“相乘”，相乘的方式和两个向量做内积是一样的。所以如果每一行都是一个单位向量，那么内积的结果就等于该列向量在每一行的向量的投影的长度，也就是在“该矩阵的行空间”的坐标了。

• This reply was modified 4 years, 8 months ago by sublimation.

[行猿]

但是一个矩阵怎么可以左乘列向量呢，假设列向量是3×1，矩阵是3×3，前者不能左乘右者吧？我的理解是，如果把世界坐标中的x轴映射成局部坐标中的t轴，x方向向量是(1,0,0)的列向量，t方向向量是(t.x,t.y,t.z)的列向量，假设转换矩阵用M表示，那么M*x = t。
M*x的结果相当于M的第一列，因此M第一列就应该等于t；同理M的第二列第三列应该分别是b和n。那么这样看来从世界坐标到局部坐标的转换矩阵是TBN，如果要反过来从局部到世界，就应该是TBN的逆也就是其转置。所以我就不太明白为什么你说的从世界变换到局部是左乘TBN的转置。

• This reply was modified 4 years, 8 months ago by 行猿.

[sublimation]

矩阵*列向量

[行猿]

抱歉，之前看错了
矩阵和向量相乘的法则我清楚，就是这个乘的矩阵我想不明白

[nightwatch]

我差点被你这个图绕进去了
简单的说，假如有两个向量V，两个不同的坐标系,a,b:
V_a = Transform_b * V_b
这个很容易理解，关键是这个Transform_b是怎么来的。Transform_b 是 b坐标系的三个坐标基，在a坐标系的表示。

问题在这里，我们已知的t,b,n都是在世界坐标系下的t,b,n,是相对于世界原点而言的。所以这决定了推导公式的方向是从Local -> World来推导。
所以 local坐标系中的(1,0,0)对应世界坐标系的(tx,ty,tz)
即 [t,b,n] = T * I , 将局部坐标转成世界坐标系需要乘以TBN

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[行猿]

熬！我明白了，所以我表示的那个T矩阵实际上正是从局部坐标变换回世界坐标的矩阵。
非常感谢！

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