关于作业1中泊松采样的疑惑

[Ryushinn]

作业1中poissonDiskSamples函数里的采样点生成代码如下：

  for( int i = 0; i < NUM_SAMPLES; i ++ ) {
    poissonDisk[i] = vec2( cos( angle ), sin( angle ) ) * pow( radius, 0.75 );
    radius += radiusStep;
    angle += ANGLE_STEP;
  }

如果这里是为了生成单位圆上的均匀采样，应该是pow(radius, 0.5)才对吧。就像均匀采样函数uniformDiskSamples里面radius = sqrt(sampleY)一样。

参考虎书sampling一章的证明：
假设用极坐标r,θ表示单位圆上的一点s，则有ds = r * dr * dθ。

若令r = pow(radius, 0.5), θ = angle，则有ds = d(0.5 * r^2) * dθ = 0.5 * d(radius) * d(angle)，即在radius-angle空间均匀采样等于在单位圆上均匀采样。

若令r = pow(radius, 0.75), θ = angle，则有ds = (3/4) * sqrt(radius) * d(radius) * d(angle)，此时在radius-angle空间的均匀采样并不等于在单位圆上均匀采样。

[JZZ]

我们使用的poisson disk在生成过程上是在单位圆上一层一层的生成采样点，层宽是 1/ sampleNumber，同层采样点的theta之间差着一个固定的angleStep，整体是从一个点呈螺旋型往外生成采样点。从最后的生成点的分布来看，更像是一个二维高斯，中间要密一些，不是均匀的。在文档里有采样函数的可视化链接，可以看一下。

3/4我的理解是这样，生成的采样点一开始卡着圆环的外边生成， 3/4 是一个让采样点回归到圆环内的缩放系数，换成别的也行。

提高采样数至200或更高，对比均匀采样和possion圆盘的差别，应该会有有趣的结果。

[Ryushinn]

感谢助教回答！我自己也做了些实验确认了使用0.5时才是均匀采样，这里贴一下实验过程和结果供其他人参考。

使用PCF(fiterSize均为0.05)的情况下可视化Visibility，分别使用0.5、0.75参数得到以下两幅图：

可以看到使用0.75时，离圆心越近采样越密集，相当于filterSize偏小所以边缘更清晰。
如果我们做一下重要性采样，对采样值除以概率密度p(x)，应该就会得到和使用0.5时一样的结果。我使用如下代码求概率密度p(x)并对采样值做加权：

......
float r = sqrt(pow(poissonDisk[i].x , 2.0) + pow(poissonDisk[i].y , 2.0));
float px = 2.0 / (3.0 * PI * pow(r, 2.0 / 3.0));
if(coords.z > 1e-2 + unpack(texture2D(shadowMap, coords.xy + filterSize * poissonDisk[i])))
      occluded += 1.0 / (PI * px * float(PCF_NUM_SAMPLES)) ;
.....

得到下面的结果：

可以看到结果确实和使用0.5时一样，从p(x)就可以看出使用0.75时并不是均匀采样。所以理论上使用0.75参数的时候如果不做重要性采样加权，得到的结果是错的、有偏的，虽然这次作业中影响并不大，但也值得注意。

• This reply was modified 3 years ago by Ryushinn.

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